極值代表了函數演變過程中的關鍵里程碑。我們將其區分為 絕對（全域）——整個定義域內的最終頂峰或谷底，以及 局部——高於或低於其鄰近點的山峰與山谷。這些點正是優化物理系統時的主要目標，從火箭的軌道到燃料消耗的最小化皆適用。
1. 極值的正式定義
定義 1：絕對極值
設 $c$ 為函數 $f$ 定義域 $D$ 中的一個數。
- $f(c)$ 是 絕對最大值 若對所有 $x$ 屬於 $D$，均有 $f(c) \ge f(x)$。
- $f(c)$ 是 絕對最小值 若對所有 $x$ 屬於 $D$，均有 $f(c) \le f(x)$。
定義 2：局部極值
$f(c)$ 是一個 局部最大值 （或最小值），當 $x$ 接近 $c$ 時，$f(c) \ge f(x)$（或 $f(c) \le f(x)$）成立。 接近 $c$。
2. 存在性保障：極值定理（EVT）
只有當解存在時，才有可能找到解。 極值定理 提供了保障：若 $f$ 在閉區間 連續 上 閉區間 $[a, b]$，則 $f$ 必定會達到 一個絕對最大值與一個絕對最小值。
請比較一下超越函數的差異：
- 範例 1（週期型）： $f(x) = \cos x$ 在無限多次達到其絕對最大值 1（其中 $x = 2n\pi$）。
- 範例 3（冪函數）： $f(x) = x^3$（在 $(-\infty, \infty)$ 上） 沒有任何 極值，因為它會無限地增加與減少。
3. 對稱性與增長
若 $f(-x) = f(x)$，則此函數為 偶函數 且關於 $y$-軸對稱。這表示若在 $x = 2$ 處出現局部最小值，則在 $x = -2$ 處也必然存在相同的最小值。我們可在 $f(x) = x^2$（範例 2）中觀察到，$f(0)=0$ 既是局部最小值也是絕對最小值。
🎯 核心原則
要在 $[a, b]$ 上尋找絕對極值，須計算函數在內部所有臨界點及端點 $a$ 與 $b$ 處的值。其中最大者即為絕對最大值；最小者即為絕對最小值。